2023年4月7日晚，由北京现代物理研究中心、北京大学物理学院、北京物理学会主办的“北京大学物理学科卓越人才培养计划讲堂：名师面对面”（第九期）在北京大学老化学楼东配楼101教室举行。北京大学讲席教授、北京国际数学研究中心主任田刚院士应邀作了题为“物理与我的研究”的报告。本期讲堂由北京大学物理学院院长、北京现代物理研究中心副主任高原宁院士主持。

数学常常给人以深奥、复杂的“错觉”，而它的本质往往是简约而直观的，给人以纯粹的美感，正如爱因斯坦所言，“美，本质上终究是简单性”。课程伊始，田刚言简意赅地讲解了如何从凸多面体的欧拉公式V-E+F=2（这里V、E、F分别是凸多面体的顶点、边和面的个数）推出只存在五种正多面体。

拓扑学是研究几何体在连续形变下不变性质的数学分支。作为拓扑学中的一个结果，欧拉公式可被推广至任意拓扑空间。当引入一个被称做欧拉示性数（简称欧拉数）的拓扑不变量，如果二维拓扑空间等价于一个多面体，并定义其欧拉数为V-E+F=2，则可证明这一欧拉数与多面体的选取无关。上世纪中叶，示性数理论与物理学中的规范场论构筑起紧密的联系，例如陈[省身]-西蒙斯理论可用来描述分子量子霍尔效应的拓扑序。而最近几十年来，拓扑学、物理学的交叉与融合成为数学研究的热点之一，量子场论、弦论的发展引发了辛几何、低维拓扑和代数几何等多个数学分支的革命。田刚通过讲述自己在数学物理领域的两项研究工作，向同学们展现了数学家与物理学家之间的持续互动、相互激励，以及数学与物理学之间的相互推动、共同发展。

田刚分享自己与物理学密切相关的两项研究工作

拓扑量子场论（topological quantum field theory, TQFT，又称拓扑场论）始于物理学领域；理论物理学家威腾（E. Witten，1990年成为首位获得菲尔兹奖的物理学家）提出了很多全新的想法（例如在《微分几何学杂志》（Journal of Differential Geometry）发表的题为“超对称与莫尔斯理论”（Supersymmetry and Morse Theory）的论文），与低维拓扑、计数几何等数学分支均有联系。上世纪九十年代以来，计数几何与拓扑场论相互影响，协同发展；前者的研究更加系统化，与表示论、微分方程等数学的其他分支紧密相连。量子同调环即为一例，对古典的计数几何给出了更深层次的、统一的理论总结。田刚介绍说，正是由于受到物理学中场论研究的启发，自己先与阮勇斌在1993年给出一个经典计数几何中的交数n(d)（即过一般位置的3d-1个点的d次有理曲线的条数）的严格定义，并证明了复投影空间上量子同调环的可结合律，进而得出n(d)的递推公式——在半单辛流形上首次建立起拓扑场论的数学理论，解决了一类经典计数几何问题；而后与李骏、深谷贤治(K. Fukaya)、小野（K. Ooo）等利用虚拟模空间的方法推广至一般辛流形。交数n(d)是与拓扑场论对应的格罗莫夫-威腾（GW）理论在亏格为零时的特殊情形。GW理论不仅推动了计数几何的高度发展，而且与无穷维代数表示、可积系统等数学分支紧密相关，也为镜像对称等重要问题提供了数学基础。

田刚讲述拓扑量子场论的数学理论是如何建立起来的

萨奇杰夫-叶[锦武]- 基塔耶夫（SYK）模型作为一个具有随机相互作用的量子多体系统，激起了量子相变、量子信息、量子引力、量子黑洞等诸多物理学分支的广泛兴趣，成为当今物理学领域的热点前沿之一。田刚回顾几年前自己访问国际理论物理中心（Abdus Salam International Centre for Theoretical Physics）时，偶然在餐桌旁听闻萨奇杰夫（S. Sachdev）提起SYK模型，随即引导并与韦东奕等人合作，对模型的能谱分布及其数学问题展开系统研究，旨在建立模型的数学理论。为此，他们组织了学习随机矩阵理论的专题研讨班，希望能够从中获得一些方法上的借鉴。在研讨过程中，解决了随机矩阵中经典高斯正交系综（Gaussian orthogonal ensemble,GOE）的小间距问题，证明了GOE的小间距在极限意义下渐进于泊松分布，并得到小间距的渐进分布函数，进而发展出一套研究点过程小间距问题的一般性方法，在数学领域世界顶级期刊《几何与泛函分析》（Geometric and Functional Analysis, GAFA）发表。他们还以“SYK模型”为题发表系列论文，阐述了极小/极大谱间距、最大特征值、中心极限理论、大偏差与度量集中理论等相关研究成果。

田刚讲述如何对SYK模型的能谱分布及相关数学问题展开系统研究

一个全新的物理现象常常会促生一种全新的数学语言，而理论物理学家全新的想法往往也会衍生令数学家跃跃欲试的全新的难题，激发他们丰富的灵感和深邃的见地。数学指向隐藏在物理现象背后的客观规律和终极真理，抽象、缜密的逻辑和严谨、精准的表达是其基础——无论怎样显而易见的结论，都必须从已知、确定的结论出发，通过正确、完备的推理而得出。可以说，数学并非以“有用”为研究的原点，然而，一旦取得数学上的思维突破，它却是极为“有用”的。

报告结束后，张纪烨、陈颜忻、侯翰飞、吴岱霖、张亦鑫、董遇、邢昊天等“物理卓越计划”2022级本科生就庞加莱猜想、马约拉纳费米子、全息虫洞、高斯酉系综、阿波罗尼奥斯圆等话题提问。田刚引用费曼（R. Feynman）所说的“对那些不懂数学的人来说，的确难于使他们理解对大自然的美、那深层的美的一种真正的感觉”（To those who do not know mathematics it is difficult to get across a real feeling as to the beauty, the deepest beauty, of nature），启迪同学们去体味数学的纯粹性、深刻性、统一性，掌握这一认识物理世界不可或缺的通用语言和基本工具；同时，也鼓励同学们坚守自己的科学志趣，博观约取，厚积薄发，在更高的能量标度和更小的时空尺度上探索未知的科学发现，挑战未解的科学难题。

现场师生就跨越数学-物理学边界的概念、理论、方法热烈互动

刘雨龙（左）、高原宁（右）向田刚赠送“物理卓越计划讲堂：名师面对面”感谢牌

北京大学物理学院杨振伟教授、王一男助理教授，及来自数学科学学院、前沿交叉学科研究院的博士后和研究生现场出席。

衷心感谢物理学院党委书记刘雨龙友情客串本期讲堂的摄影师