北京大学物理学院量子材料科学中心陈昱安助理教授及其博士生梁子健，与德国美因茨约翰内斯·古腾堡大学数学研究所 Jens Niklas Eberhardt 博士合作，近日在高效量子纠错码的平面实现方向取得重要进展。研究团队首次提出一套系统方法，将原本定义在环面几何上的双变量双循环（bivariate bicycle, BB）量子低密度奇偶校验（qLDPC）码，转化为具有开放边界的平面 qLDPC 码；在保持高编码效率与稳定子局域性的同时，系统构造出一系列更适合二维硬件架构实现的平面量子纠错码。相关成果以“平面开放边界的量子低密度奇偶校验码”（Planar Quantum Low-Density Parity-Check Codes with Open Boundaries）为题，发表在国际期刊 PRX Quantum上。

实现大规模容错量子计算的关键，是利用量子纠错来保护极其脆弱的量子信息。表面码（surface code）因其平面布局、稳定子测量局域等优势，被广泛认为是最有希望的量子纠错方案之一；然而，其资源开销仍然十分可观，用来表征资源效率的指标 ()（其中 () 为物理比特数、() 为逻辑比特数、() 为码距）大约为 1。为实现实用规模的量子算法，往往需要上百万个物理量子比特，这促使研究者寻找既能保持二维平面上的局域操作，又能显著提升资源效率() 的新型量子码。近年来发展起来的 qLDPC 码，尤其是 BB 码，在理论上可将资源开销降低一个数量级；但它们通常天然定义在环面几何上，难以直接适配现实中多采用平面芯片架构的量子硬件平台。

图 1： 平面 qLDPC码的构造示意图。红色、蓝色圆点分别表示边界上的 X、Z 稳定子，绿色为角稳定子，中心为体稳定子。不同边界上凝聚不同类型的任意子，使得码距随系统尺寸增大而增大。

在本项工作中，研究团队从拓扑序与任意子理论出发，将二维平移不变的稳定子码理解为若干份 Kitaev 环面码的等价实现。借鉴拓扑量子场论中的“任意子凝聚”思想，团队提出了一套普适的方法：通过边界任意子凝聚并结合晶格嫁接（lattice grafting），将原本定义在环面上的 BB 码系统地转化为适用于平面量子芯片的 qLDPC 码。 具体而言，研究团队在平面上引入合适的开放边界，使部分激发可以在边界处终止，从而实现从环面几何到平面几何的转化。在这一过程中，得到的平面码在逻辑比特数、局域稳定子结构等关键性质上与原始 BB 码保持一致，且码距随系统尺寸增长，图 1 展示了平面 qLDPC 码的系统构建方式。 在此基础上，研究团队进一步利用晶格嫁接对边界附近的冗余物理量子比特进行裁剪，在不降低码距的前提下减少物理比特数量，从而提升整体编码效率。

基于上述方法，研究团队构造出多组具有开放边界的平面 qLDPC 码族，在逻辑比特数 () 的范围内给出了系统性示例。所有这些平面码都保持了几何上局域的、权重不超过 6 的稳定子算符；典型代表包括 [[78, 6, 6]]、[[107, 7, 7]]、[[268, 8, 12]]、[[405, 9, 15]]、[[348, 10, 13]]、[[450, 11, 15]]、[[386, 12, 12]] 和 [[362, 13, 11]] 等一系列 码。 在允许部分稳定子权重提升到 8 的情况下，团队进一步利用晶格嫁接得到一个 [[282, 12, 14]] 的平面 qLDPC 码，其效率指标 ()，比传统表面码高出约一个数量级，体现出在有限物理比特资源下显著更优的纠错能力和存储能力。

图 2： [[288, 8, 12]] 平面qLDPC码。(a)(b) 体 X、Z 型稳定子呈平移对称排布。(c)(d) 边界 X、Z 型稳定子。

论文中还给出了多个具有代表性的平面量子码实例及其图形示意。例如，图 2 展示了一个构建在() 开放正方晶格上的 [[288, 8, 12]] qLDPC 码，其中红色与蓝色圆点分别表示权重为 6 的 X 型和 Z 型稳定子，边界附近的稳定子由体区稳定子在边界处截断得到，从而在保持局域性的同时实现逻辑维度 () 与较大的码距。

图3：[[288, 8, 12]] 平面 qLDPC 码中最低权重逻辑算符及其分形结构示意。(a) 最低权重逻辑 (X) 算符（深红）。(b) 最低权重逻辑 (Z) 算符（深蓝）。(c) 与之对应的Sierpinski三角形分形。

除了在编码效率和可实现性上的优势，该工作还揭示了平面 qLDPC 码中逻辑算符的有趣结构。研究发现，在 100–500 个物理比特这一与近期实验规模相当的有限系统中，最小权重的逻辑算符不再是简单的“弦”形态，而是呈现出类似Sierpinski三角形的分形图案（如图3所示），其码距与分形面积成正比，这与以往二维拓扑码中以“弦状”逻辑算符为主的图像形成鲜明对比。 随着系统尺寸进一步增大，这些分形逻辑算符会逐步过渡到传统的弦状算符。对这一“分形–弦状”过渡过程的研究，有望为理解 qLDPC 码在二维体系中的码距行为提供新的物理直觉，也为设计兼具高阈值和高效率的新型量子码提供思路。

该工作中，梁子健为第一作者，陈昱安和Jens Niklas Eberhardt为共同通讯作者。研究工作得到了国家自然科学基金委员会、北京大学的经费支持。

原文链接：https://doi.org/10.1103/qv65-vmzr